9. Optymalizacja i ocena rozwiązań systemowych

9.1 Wybór sytemu idealnego - kryteria jakości
9.2 Optymalizacja wariantów rozwiązań systemu
   9.2.1 Optymalizacja niesformalizowana - jakościowa
    9.2.2 Optymalizacja heurystyczno - ilościowa
    9.2.3 Optymalizacja analityczno iteracyjna
9.3 Podejmowanie decyzji w optymalizacji systemowej
   
9.3.1 Decyzje deterministyczne
   
9.3.2 Decyzje ze znanym ryzykiem
   
9.3.3 Decyzje w stanie niepewności
   
9.3.4 Drzewo decyzji
Strona główna

W naszej podróży po Ogólnej Teorii Systemów, Inżynierii Systemów, lub jak ostatnio to nazwano Metodologii Systemów [42] jesteśmy na początku zdefiniowania (określenia wymogów i osiągów) systemu (patrz rozdz. 7). Jesteśmy zatem w sytuacji posiadania zbioru możliwych rozwiązań uzyskanych np. przez zastosowanie technik twórczego myślenia. Dobraliśmy również odpowiednie modele dla tych rozwiązań, tak że znamy równowagowe i ewolucyjne zachowanie się tych rozwiązań w całym cyklu ich ewentualnego życia. Stan ten doskonale oddaje rysunek 9.1, [6]. Przestawia on wybrane warianty rozwiązań systemowych do oceny i wyboru za pomocą odpowiednich metod i kryteriów stosowanych na odnośnych poziomach szczegółowości oceny i decyzji. Konieczność takiego stopniowego uszczegółowiania decyzji w projektowaniu systemowym przedstawia kolejny rysunek 9.2, [6], dla przypadku projektowania obiektu technicznego, z punktu widzenia efektywności działania i związanych z tym kosztów. Jest to typowy przykład tzw. top - down analysis, typowej procedury stosowanej w inżynierii systemów.

Rys. 9.1: Ilustracja problemu oceny i wyboru rozwiązań alternatywnych na początkowym etapie jego definicji [6]

Rys. 9.2: Hierarchia oceny i decyzji przy szczegółowym projektowaniu sytemu technicznego [6].

Jak widać z rysunku 9.1 pierwszą czynnością jest wybranie kryteriów oceny rozwiązań, czyli jak to formułuje Hall [42] wybór systemu idealnego. Temu ważnemu zagadnieniu poświęciliśmy już nieco uwagi, a obecnie rozwiniemy to bardziej.

9.1 Wybór sytemu idealnego - kryteria jakości

System idealny (pożądany) zdefiniowany jest przez zbiór wartości i określeń słownych i można go tak nazwać gdyż reprezentuje możliwe do uzyskania osiągi wymagane przez zamawiającego (przyszłego użytkownika). Ta wizja systemu idealnego jest zarysowana w granicach fizycznej i ekonomicznej realizowalności, obecnej i przewidywanej przyszłej. Muszą tu być sprecyzowane z odpowiednimi tolerancjami najważniejsze dane funkcjonalne, operacyjne, koszty, wskaźniki bezpieczeństwa, wpływu na środowisko, itp. Warto tu wspomnieć, że zagadnienie opracowania systemu idealnego było obecne w umyśle ludzkim od zarania dziejów, począwszy od wyobrażeń nieba w różnych religiach, do różnych idealnych systemów społecznych, np Republika -Platona, Utopia - Tomasza Moora, itd. Jest to zawsze pewien standard do którego przymierzamy zastaną lub projektowaną rzeczywistość. Stąd tez sformułowanie takiego standardu dla nowoprojektowanego systemu jest zagadnieniem niepośledniej wagi. Formalnie system idealny jest najlepszym wykoncypowanym przez planistów i projektantów na danym poziomie wiedzy i technologii ([42] r.2.8.2) wytworzonej przez daną społeczność. Nie wszystkie cechy tego systemu idealnego da się wyrazić w zapisie matematycznym, zatem dużą pomocą może być przejście do zmiennych lingwistycznych i logiki rozmytej, o czym w skrócie nieco później w rozdziale 11. W sytuacji dobrze zdefiniowanego modelu matematycznego systemu idealnego może być on wyrażony przez n - wymiarowy wektor X* idealnych atrybutów x* systemu jak niżej,

X = [x1*,x2*, ...xn*]

(9.1)

 

Każdy system alternatywny z rysunku 9.1 może być również wyrażony przez wektor swych atrybutów Xi. Możemy zatem formalnie mówić o bliskości, bądź odległości wariantów systemu od jego ideału. Spośród wielu definicji odległości najlepiej jest wybrać odległość uogólnioną typu jak niżej.

Tutaj dla q = 2 mamy odległość Euklidesa - uznającą wszystkie składowe odległości cząstkowe prawie równomiernie, zaś dla q Ž Ą odległość Hamminga - preferującą cząstkowe odległości maksymalne. W tej sytuacji mając wybraną miarę odległości każdego rozwiązania od rozwiązania idealnego możemy zastosować procedury optymalizacyjne dla wyboru najlepszego realizowalnego wariantu systemu, dla którego

dr = mini [ d (Xi, X*)]

(9.3)

Istnienie takiej relacji, czasami niejawnej, jest podstawą stosowania wielu metod optymalizacyjnych deterministycznych i stochastycznych przy planowaniu i projektowaniu systemów - o czym jeszcze będzie wielokrotnie mowa. Jednak wyartykułowanie wszystkich atrybutów systemu (również idealnego) na poziomie ilościowym nie zawsze jest łatwe a nawet możliwe. Widać to doskonale na pokazanym już przykładzie projektowania toru wyścigowego metodą Quality Function Deployment – QFD (rys. 7.16 ) .

Przy kwantyfikacji atrybutów systemu, wynikających z upodobań klienta potrzeba niejednokrotnie zastosować psychologiczną teorię wartości ([4] r.10, [29], [31]), pozwalającą na stosowanie metod ilościowych, nie heurystycznych. Nie musimy jednak tego robić jeśli do końca będziemy stosować metody intuicyjne, heurystyczne, np. metodę Delphi z użyciem niezależnych ekspertów.
Istnienie idealnego systemu ma jeszcze głębszy sens. Jest on opracowywany jako pierwszy w odniesieniu do realnego systemu, zatem musi być również poddany weryfikacji, falsyfikacji i nawet jeśli trzeba korekcie, jeśli żądania metasystemu nie mogą być spełnione realizacyjnie. Co więcej system idealny musi mieć zmienność celów i zadań inną niż system realizowany, tzn stała czasowa ważności wzorca i zakres istnienia i zastosowań systemu idealnego muszą być daleko większe. Planowanie i projektowanie systemu realnego odbywa się w ciągłym sprzężeniu zwrotnym z systemem idealnym, lub idealnym systemem wartości jak to nazywa Hall [42]. Ten proces interakcji systemu idealnego i projektowanego widziany w kategoriach teorii automatycznej regulacji przedstawiono na rysunku 9.3, [42], gdzie również widać wyraźnie, że definiowanie systemu idealnego jest pierwotne w stosunku do projektowania systemu realnego.

Rys. 9.3 System idealny i jego interakcja i sekwencja czasowa z systemem projektowanym [42].

9.2 Optymalizacja wariantów rozwiązań systemu

Optymalizacja możliwych rozwiązań wariantów systemu (podsystemu, elementu) musi przebiegać jednocześnie lub czasami niezależnie po trzech dziedzinach opisu własności systemu jak niżej (patrz również rys.... 1 i ....2 ):

Tak więc konfrontacja rozwiązania idealnego z wartościami granicznymi w przestrzeni parametrów efektywnościowych i / lub ekonomicznych i / lub niezawodnościowych ujawnia na ogół cały zakres rozwiązań dopuszczalnych, tak jak to zilustrowano na rysunku 9.4, [6].

Rys. 9.4: Przykładowe zakresy istnienia rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni parametrów i kryteriów projektowych [6].

Projektowany system musi się znaleźć w zakresie rozwiązań dopuszczalnych wyborowi (wybieralnych – trade off area) i jak widać dla systemów złożonych ( patrz np. zbiór kryteriów oceny systemu technicznego z rysunku 9.2) może to być daleko bardziej skomplikowane niż na pokazanym już rysunku 9.4. Wyłaniający się więc problem optymalizacji w zbiorze możliwych rozwiązań systemu nie jawi się obecnie tak prosto, nawet dla systemów deterministycznych.

Popatrzmy zatem na rysunek przedstawiający większość metod optymalizacyjnych możliwych w ogóle do zastosowania jak to przedstawia Patzak [7]. Jak widać z rysunku 9.5 w zasadzie mamy do dyspozycji dwa podejścia, sformalizowane ilościowe i niesformalizowane jakościowe, będące zbiorem reguł płynących z doświadczenia.

Rys. 9.5: Możliwe podejścia do zadania optymalizacji systemowej [7].

Oba te podejścia łączą trzy metody już ilościowe; analityczna z dobrze określonymi procedurami, iteracyjną gdzie procedura jest krokowa, ora z heurystyczna, gdzie problem optymalizacji jest źle zdefiniowany i potrzebujemy dodatkowych reguł i strategii poszukiwawczych. Niżej scharakteryzujemy pokrótce te metody odsyłając zainteresowanych do literatury celem zgłębienia problemu [7], [26], [27], [6].

9.2.1 Optymalizacja niesformalizowana - jakościowa

Ten rodzaj optymalizacji (emocjonalno - intuicyjno - heurystycznej) prowadzony jest za pomocą reguł płynących z doświadczenia. W szczególności postępowanie takie jest konieczne gdy:

Przykład
Wytyczne dla optymalizacji niezawodności systemu technicznego.

W fazie planowanie systemu:

W fazie realizacji:

W fazie użytkowania:

W fazie reużytkowania:

Jak widać z powyższego przykładu jedynie możliwe do przeprowadzenia jest tu ujęcie jakościowe tych wielopoziomowych zabiegów optymalizacyjnych.

9.2.2 Optymalizacja heurystyczno - ilościowa

Polega ona na przeszukiwaniu przestrzeni rozwiązań (źle sformułowane zadanie optymalizacji) jedną z poniższych metod.

Szczegółowy opis przykłady zastosowań tych metod można znaleźć w [27], [28], a nawet istnieją pozycje specjalistyczne dotyczące każdej z metod oddzielnie [65].

9.2.3 Optymalizacja analityczno iteracyjna

Mając n -wymiarowy wektor atrybutów systemu X = [x1,...xn], z ewentualnymi cząstkowymi funkcjami celu zi = fi(X) formułuje się łączną funkcję celu jak niżej.

z zadanymi współczynnikami wagi gi ł 0, ĺgi = 1 .
Do tego należy jeszcze dołączyć ograniczenia projektowe

oraz dodatkowe związki jakie czasami muszą one spełniać

Fs = Fs (x1, ...xn), ; s = 1,...

Jak widać, mimo że zagadnienie jest sformalizowane i postawione w kategoriach ilościowych to nie jest ono proste.
Najprostsza rachunkowo sytuacja wynika gdy funkcja celu i ograniczenie są liniowe jak niżej

Wtedy rozwiązania problemu można znaleźć za pomocą tzw programowania liniowego i wszelkich odmian metody simpleksów, łącznie z metodami graficznymi. Przykład takiej optymalizacji podany jest na rysunku 9.6, [7], skąd można wnioskować o względnej prostocie tych metod.

Rys. 9.6 Przykład optymalizacji metodą programowania liniowego [7].

Za pomocą tak prostych metod można optymalizować zagadnienia transportowe, logistyczne, całoliczbowe, zarówno w podejściu deterministycznym jak i probabilistycznym. W tym ostatnim przypadku należy dodatkowo znaleźć przedziały ufności rozwiązań optymalnych.

Dla nieliniowego zadania optymalizacji rozwiązań wariantów systemu możemy je postawić zupełnie ogólnie jak niżej.
Należy zminimalizować funkcję celu

Z = f(X) = min,

(9.6)

przy ograniczeniach

gs (X) = 0 , s = 1,...p.

Jeśli funkcje f(X) , gs(X) są wypukłe to można posłużyć się metodą mnożników Lagrangea ls tworząc nową funkcję celu.

Równania rozwiązujące problem optymalizacji uzyskamy przyrównując do zera kolejne pochodne funkcji celu jak niżej.

Przykład
Znaleźć prostopadłościenny pojemnik na materiał sypki o pojemności V = 1000 m3 , wysokości -L, szerokości -B, i wysokości -H, o minimalnym polu ścian bocznych -Z. Wiadomo z geometrii , że

Z = L B + 2 L H + 2 B H

warunek na objętość V = L B H , można zapisać LB H - V = 0.
Funkcja Lagrange'a zadania optymalizacji

Równania rozwiązujące;

skąd kolejno podstawiając wyliczamy

 

czyli objętość pojemnika: V = L B H = L3/2 .


A stąd decyzja projektowa:


L = 12,6 m, ; B = 12,6 m, ; H = 6,3 m .

Tyle w skrócie na temat optymalnych deterministycznych metod projektowania systemowego sformułowanych explicite lub nawet w sposób niejawny. Nie zawsze jednak to jest możliwe jak zobaczymy niżej.

9.3 Podejmowanie decyzji w optymalizacji systemowej

Podejmując decyzje w inżynierii systemów szukamy zawsze rozwiązania lub zbiór rozwiązań maksymalizujących użyteczność wybranego działania. Jeśli działanie (decyzja) ‘i’ w okolicznościach ‘j’ przyniesie użyteczność Eij to nasz wybór winien być zgodny z regułą: Max{Eij} . Obliczenie użyteczności działania nie jest jednoznaczne (patrz literatur teorii decyzji i teorii użyteczności). Istnieje zatem wiele podejść do teorii i praktyki decyzji i w pierwszym przybliżeniu można je podzielić na:

Według A. P. Sage [20] to właśnie trzecie podejście jest właściwą ingrediencją ujęcia normatywnego i deskryptywnego, co nosi nazwę prescryptywnego podejścia do analizy i oceny decyzji. Same zaś decyzje mogą być dzielone i wyróżniane zależnie od naszej wiedzy o możliwych konsekwencjach działań (akcji) i wiedzy o stanie natury (otoczenia). Wyłączając decyzje w warunkach konfliktu (drugi decydent o nieznanej strategii gry) ogół decyzji możemy podzielić na:

    1. decyzje w stanie pewności co do wyników każdego działania (deterministyczne),
    2. decyzje o znanym ryzyku (np prawdopodobieństwo) w relacji akcja - użyteczność,
    3. decyzje w stanie niepewności co do ryzyka w relacj akcja - użyteczność.

Niżej w skrócie omówimy najważniejsze momenty tych trzech rodzajów sytuacji decyzyjnych.

9.3.1 Decyzje deterministyczne

Podejmowanie decyzji projektowych dotyczących wyboru wariantu systemu przewidzianego do realizacji w warunkach deterministycznych, tzn. gdy sam system jak i otoczenie zachowuje się deterministycznie, nie jest zbyt trudne. Jest tak zwłaszcza gdy cechy pożądanego systemu są w pełni kwantyfikowalne np. zgodnie z poniższą formułą (9.7). Wtedy wybór systemu do realizacji może przebiegać zgodnie z zaprezentowaną już regułą minimalnej odległości od systemu idealnego (3). Będziemy więc realizowali system spełniający warunek

a w jego poszukiwaniu słuszne będą wszystkie metody zreferowane w poprzedniej sekcji.
Warto tu wspomnieć, że jako cechy systemu możemy obrać cechy fizykalne, ekonomiczne lub znacznie lepiej efektywnościowe w postaci tzw. wskaźników jakości FOM (Figures of Merit), zdefiniowanych już wzorem (9.7). Przy niekwantyfikowalnych cechach systemu należy kierować się doświadczeniem, a zwłaszcza opiniami ekspertów, podobnie jak w twórczym poszukiwaniu rozwiązań systemowych opisanych poprzednio w rozdziale 7. W nieliniowych zadaniach optymalizacji deterministycznej mogą wystąpić trudności w przeszukiwaniu przestrzeni rozwiązań, zaleca się zatem zwrócić w stronę metod sztucznej inteligencji, np. sieci neuronowych, algorytmów i programowania genetycznego, automatów komórkowych i programowania ewolucyjnego [64].

9.3.2 Decyzje ze znanym ryzykiem

W wielu przypadkach optymalizacji wariantów systemów i optymalizacji ich możliwych działań, często musimy podjąć decyzję przy niepełnej wiedzy o stanie otoczenia (bądź układu) i wpływie na nasz system. Oznaczmy możliwe do podjęcia akcje przez A1, ...Am. Akcje te możemy podejmować przy różnych stanach otoczenia nie będących pod naszą kontrolą F1, ...Fm. Załóżmy, że potrafimy oszacować prawdopodobieństwa występowania danego stanu P1, ...Pm , tak jak to przedstawiono na rysunku 9.7, gdzie Eij oznacza poszczególne sumy użyteczności (efektywności ) działań, w charakterze wypłat w jednostkach monetarnych. Dla znalezienia najlepszej decyzji (działania) maksymalizującej wypłaty załóżmy dodatkowo że

 

Rys. 9.7 Macierz użyteczności (wypłat) dla zadanych akcji Ai i przy stanie natury Fj [6].

Pora już zatem określić co będziemy rozumieli przez ryzyko danej akcji, działania czy przedsięwzięcia RA. Najprościej definiuje się je przez możliwy zakres użyteczności działania (również strat), czyli

Bardziej sformalizowana definicja ryzyka [49]ujmuje już prawdopodobieństwa wystąpienia danej użyteczności (zwłaszcza straty), czyli dla działania Ai i użyteczności 'j' możemy napisać

natomiast średnie ryzyko działania przy różnych stanach natury będzie

Istnieje cały szereg propozycji rozwiązań tego problemu za pomocą prostych metod statystycznej teorii decyzji. Dla ich ilustracji weźmy pod uwagę system (organizację), firmę komputerową ubiegającą się o dwa kontrakty, której działanie może przejawiać się stanem (wygraniem kontraktu) C1 ,lub,; C2 bądź nawet C1 + C2 . Prawdopodobieństwo stanów (w nawiasach nad stanem) i wynikające stąd zyski i straty w tysiącach dolarów z tytułu kontraktu podane są na rysunku 9.8, [6]. Niżej przestawimy kilka sposobów rozwiązania tego problemu decyzyjnego.

 

Rys. 9.8 Macierz wypłat dla trzech możliwych stanów (kontraktów) systemu z podaniem ich prawdopodobieństw [6].

 

Kryterium zakresu aspiracji
Tutaj określamy wstępnie zakres możliwego do przyjęcia ryzyka zysku i strat. Jeśli dla danych z rysunku 9.8 przyjmiemy zakres ryzyka -100 < R < 500 tysięcy dolarów, to jedynie działania A1 i A3 będą tu do przyjęcia, i dalszą decyzję wyboru działania musimy oprzeć o inne metody.

Kryterium najbardziej prawdopodobnego stanu
W zastosowaniu do danych z rysunku 9.8 i wzoru

daje nam ono stan C1 + C2 z prawdopodobieństwem P = 0.5 i maksymalną wypłatą w tym stanie dla decyzji A2 = 600.

Kryterium wartości oczekiwanej
Kryterium to można zapisać jako

 

Zatem sumowanie w wierszach macierzy wypłat daje następujące wypłaty
A1 = 250, A2 = 270, A3 = 290, A4 = 190
Widać stąd, że wybierając maksimum dostaniemy działanie A3, dające największy spodziewany profit.

Porównując decyzje podjęte w stanie określonego ryzyka możemy napisać jak niżej.
+ Kryterium poziomu aspiracji: akcja A1 lub A3,
+ Kryterium najbardziej prawdopodobnego stanu: akcja A2,
+ Kryterium wartości oczekiwanej: akcja A3.
Widzimy zatem, że działanie A3 jest preferowane dwa razy, możemy więc przypuszczać że będzie to najlepsza alternatywa działania firmy komputerowej.

9.3.3 Decyzje w stanie niepewności

Nie zawsze jednak dysponujemy danymi odnośnie możliwych stanów natury, nawet w sensie częstości ich występowania, czyli empirycznych prawdopodobieństw Pj z rys. 9.8. W takich sytuacjach też możemy znaleźć kilka metod oceny użyteczności decyzji.

Kryterium Laplace'a twierdzi, że z racji niewiedzy należy przyjąć równe prawdopodobieństwa zdarzeń i = 1,...n, czyli Pi = 1/n. Dla naszych danych mamy więc Pi = 1/3 oraz

Takie kryterium daje wypłaty jak niżej
A1 = 200, A2 = 183, A3 = 233, A4 = 200, , a więc podobnie jak poprzednio akcja A3 może być najbardziej efektywna.

Kryterium maximin, bierze ono maksymalną wypłatę ze wszystkich minimalnych wypłat poszczególnych stanów, czyli

W tym przypadku dostaniemy wypłaty jak niżej
A1 = 100, A2 = -200, A3 = 0, A4 = 100.
A więc w tym sensie akcje A1 i A4 są równoważne dając każda taką samą wypłatę.

Kryterium maximax, maksymalizuje ono zawsze wypłaty w danej akcji a następnie wybiera decyzje najbardziej opłacalne. Czyli tutaj mamy

będzie: A1 = 400 , A2 = 600, A3 = 500, A4 = 300.

Tak więc działanie A2 jest najbardziej korzystne wobec tego kryterium.

Kryterium Hurwicza, żąda ono obrania preferencyjnego wskaźnika optymalności 0 Ł a Ł 1, a następnie oblicza stąd spodziewane wypłaty wg wzoru

Postępując tak dla każdej akcji przy a = 0,2 otrzymamy
A1 = 600, A2 = -40, A3 = 100, A4 = 100,
Widać z powyższego, że działanie A1 może tu przynieść największe zyski.

Możemy podsumować obecnie uzyskane decyzje i dać wskazania na zalecaną akcję i stosowną wypłatę jak niżej.
AKCJA - KRYTERIUM (wypłata)
A1 maximin (100) ; Hurwicz (a = 0.2), (100)
A2 maximax (600) ; maksymaln. prawdop. (600)
A3 Laplace (233) ; wartość oczekiwana (290)
A4 maximin (100).

Jak widać z powyższego, przy tych danych (braku danych) prawie każde działanie może być optymalne w zależności od preferencji decydenta w doborze kryterium decyzyjnego. Patrząc zaś na wartości wypłat poszczególnych działań to skrajny optymista wybierze działanie A2 = 600 , zaś pesymista A1 = 100.
Dla zapewnienia dominancji jednej akcji nad drugą są tu dwa wyjścia. Po pierwsze na podstawie doświadczeń wybrać strategię decyzyjną przynoszącą największy profit, lub po drugie zastosować bardziej zaawansowane metody teorii decyzji i teorii gier [26], [29], [42], [6]. Często zaś stan systemu (lub natury) nie jest tak nieokreślony jak wyżej, można zatem użyć innych metod maksymalizujących zysk lub wybierać działanie na podstawie innych kryteriów.

Zagadnienia maksymalizacji zysku lub innego wskaźnika efektywności w zagadnieniach deterministycznych można dobrze rozwiązywać za pomocą metod Programowania Dynamicznego (PD). Chociaż nazwa sugeruje tu zmienną czasową i przewidywanie przyszłego stanu systemu za pomocą PD, to jest to zaledwie mała część możliwości tej metody.
Generalnie stosujemy obecnie PD do sytuacji sekwencyjnego podejmowania decyzji dotyczących alokacji środków i zadań, a więc do wszelkiego typu planowania operacji. Jest to więc zakres Badań Operacji dobrze omówiony w odrębnym przedmiocie wykładanym na Politechnikach. Poprzestając więc na tych uwagach zastosowań PD nie będziemy w to wchodzić głębiej, podobnie jak we wszystkie metody sieciowe typu PERT (Programm Evaluation and Review Techniqe), G(raphic)ERT, Teorię Kolejek, itd.

9.3.4 Drzewo decyzji

Problemy decyzyjne wszystkich trzech typów; deterministyczne, ze znanym i nieznanym ryzykiem, można rozwiązywać za pomocą tzw. drzew decyzji [20], [30]. Drzewa takie mają strukturę gałęziową i na jego początku znajduje się decyzja stwarzająca możliwość szeregu działań, lub akcji oznaczona graficznie jako kwadrat [Ż] . Działania główne rozchodzą się następnie na warianty działań, które spotykają się z różnymi stanami natury z różnymi użytecznościami Eij, lub wypłatami (dodatnimi lub ujemnymi). Jeśli do tego mamy sytuację określonego ryzyka, to każdemu działaniu towarzyszy określone prawdopodobieństwo zaistnienia zdarzenia tak jak na rysunku 9.9, [32].

Rysunek ten ilustruje prawie codzienny problem posiadacza pewnego kapitału (100mln zł), który może mieć przed sobą co najmniej trzy możliwości jego powiększenia decyzjami: a1, a2, a3. Oczywiście cały problem decyzyjny jak i akcje te mogą również przestawiać alternatywy działań produkcyjnych, jak np. możliwość podjęcia produkcji trzech różnych wyrobów. Pozostańmy jednak przy prostym pojęciowo przykładzie alokacji kapitału jak niżej.

Decyzjom tym towarzyszą możliwe stany natury, w tym przykładzie akurat też trzy:

W kategoriach technicznych stany te mogą dotyczyć efektywności wyrobu, jego średniego czasu do awarii, niezawodności, itd. i mogą być wyrażone w sposób rozmyty, lingwistyczny, jak np. niezawodność mała, trwałość duża, itp. Wróćmy jednak do naszego przykładu alokacji kapitału 100 mln zł. Wstępna wyrywkowa obserwacja giełdy (bez prawdopodobieństw) może nam dać drzewo decyzji tak jak pokazano na rysunku .

Rys. 9.9 Wstępne drzewo decyzyjne inwestycji kapitału [32].

Po dłuższym okresie obserwacji giełdy (lub efektywności produkcji wyrobów w1, w2, w3, ich ilości braków, itd., możemy naszym zdarzeniom przypisać prawdopodobieństwa Pij. Wtedy nasze oceny ryzyka zysków i strat będą bardziej wiarygodne tak jak w dolnej części rysunku . Ostrożny inwestor (menadżer produkcji) ma jeszcze w swej dyspozycji przed podjęciem ostatecznej decyzji możliwość zainwestowania w zdobycie dodatkowych informacji (wstępna ocena prawdopodobieństwa) I1, I2, I3, o możliwych stanach natury s1, s2, s3. Są to na ogół dodatkowe badania giełdy, rynku, badania modelowe, badania próbnej partii wyrobu ,itd, zamawiane lub wykonywane określonym dodatkowym kosztem. W tym świetle dodatkowo zamówionych badań rynku (za 2 mln zł) nasze drzewo decyzji będzie mieć teraz dość skomplikowaną postać tak jak na rysunku 9.10.

Rys. 9.10 Pełne drzewo decyzji w przypadku zakupu wstępnej Informacji I za 2 mln zł [32].

Przeanalizujmy je bliżej. Jak widać na początku musimy podjąć decyzję czy zamawiamy dodatkową informację (najem firmy KOOPINLO) o możliwych stanach natury, czy też nie. Nie zamawiając dodatkowej informacji mamy sytuacje jak poprzednio na rysunku 9.8 lecz już ze sprecyzowanymi prawdopodobieństwami stanów si i w związku z tym możemy obliczyć średnią efektywność danej decyzji (liczba obok koła kończącego daną akcje), oraz ocenić optymalną (maksymalną) użyteczność zbioru decyzji ai co dają liczby obok kwadratu decyzji. Jak widać bez dodatkowych informacji (rys dół) maksymalna użyteczność płynie z włożenia pieniędzy do banku.
Mając dodatkowe informacje Ii mamy jednak dodatkowo trzy kwadraty decyzyjne i = 1,2,3, o możliwościach jak niżej.

 

Zwróćmy tu uwagę, że prawdopodobieństwa w górnych gałęziach są inne niż w dolnej części rysunku, a to dlatego że wykorzystaliśmy naszą poprzednią wiedzę zawartą w dolnej części rysunku i wiedzę dostarczoną z badań, obliczając każdorazowo prawdopodobieństwo a posteriori z reguły Bayes'a. Są to podstawy teorii decyzji w co już nie będziemy się tu dalej zagłębiać,[31].

Podsumowując informacje zawarte na drzewie decyzji widać, że średnia użyteczność akcji z dodatkową informacją EMV' = 11.65 mln zł, jest większa niż bez dodatkowych badań gdzie EMV* = 10mln zł, lecz uważny obserwator zauważy że przy tej cenie dodatkowej usługi zysk jest mniejszy niż jej koszt. Może trzeba więc z niej zrezygnować lub szukać tańszej u konkurencji. Nie będziemy się w to dalej wgłębiać, bo naszym celem było jedynie zasygnalizowanie inferencyjnych możliwości drzewa decyzji. Zainteresowani mogą więcej znaleźć o problemach inwestycji kapitału, inwestycji w sprzęt komputerowy, o problemach poszukiwań ropy naftowej z pomocą drzewa decyzji,, oraz o problemach odbioru projektów technicznych przez firmę konsultingową od wykonawców w [31], (rys. 9.11).

Rys. 9.11 Drzewo decyzji odbioru projektu technicznego z trzema decyzjami: odrzucić, zaakceptować, poprosić o modyfikacje projektu [31].