6. Modele systemów i ich zachowanie

6    Modele systemów i ich zachowanie
6.1 Modele, modelowanie, symulacja
6.2 Modele wzrostu systemów
    6.2.1 Wzrost geometryczny systemu
    6.2.2 Model stada
    6.2.3 Modele gospodarki
    6.2.4 Wzrost eksponencjalny systemu
6.3 Modele zachowania systemów z ograniczeniami strukturalnymi
    6.3.1 Układy transformujące energię
    6.3.2 Systemy z nasyceniem
6.4 Systemy konfliktowe
    6.4.1 Wyścig zbrojeń
     6.4.2 Model drapieżnika i ofiary
     6.4.3 Model urbanizacji
6.5 Modele Systemów złożonych
6.6 Prognozowanie ewolucji systemów
     6.6.1 Prognozowanie przy znanym typie modelu
     6.6.2 Prognozowanie bez znajomości modelu

6 Modele systemów i ich zachowanie 

    Przed przejściem do koncepcyjnego projektowania systemów celowym jest zbadanie ich zachowania się w trakcie życia i \ lub działania. Bowiem jak stwierdziliśmy poprzednio niejednokrotnie system optymalny musi zachować swą optymalność w ciągu całego cyklu życia, od koncepcji poprzez fizyczną realizację, aż do kasacji i recyclingu. Zatem na ile się da, należy ilościowo i jakościowo przebadać zachowanie się systemu w całym cyklu jego istnienia. Wymaga to posiadania pewnych modeli ewolucji systemów, najlepiej zaś modeli ilościowych. Jeśli zaś ich nie posiadamy to zawsze jest jeszcze możliwość prognozowania zachowania się systemów metodą odpytywania ekspertów (Delphi), lub scenariusza. 

    Załóżmy jednak tutaj, że dysponujemy ilościowymi modelami zachowania się systemów co dla systemów względnie prostych jest możliwe. Będziemy zatem niżej badać zachowanie prostych systemów obserwując je przez pryzmat wielkości sterujących, bądź tylko przez ich wielkości wejściowo - wyjściowe, bądź inne wielkości proporcjonalne do nich, tzw. symptomy - jeśli system nie jest bezpośrednio obserwowalny. Czasami jednak, jak zobaczymy niżej, znajomość struktury systemu pozwoli wydedukować jego zachowanie.

6.1 Modele, modelowanie, symulacja 

    Upraszczając nieco dla pokazania istoty problemu można powiedzieć, iż często nie wiedząc o tym żyjemy w świecie modeli. O czymkolwiek myślimy, mówimy, zawsze mamy na myśli pewne nasze wyobrażenie rzeczywistości fizycznej i / lub symbolicznej, czyli jej model. A warto na początku podkreślić, że model do realnego systemu ma się tak jak mapa do terenu, a do tego w naszej głowie są same takie 'mapy' świata w którym żyjemy zamiast rzeczywistego 'terenu' . Czym zatem jest model systemu? 

    Przypomnijmy sobie wpierw naszą najlepszą definicję systemu, system jest to byt przejawiający egzystencję przez synergiczną interakcję swych elementów, system działa w czasie i w przestrzeni. Zatem, 

    model jest uproszczoną reprezentacją systemu, w czasie i przestrzeni, stworzoną w zamiarze zrozumienia zachowania systemu rzeczywistego [54]. 

    Modele, z którymi mamy do czynienia w życiu i pracy mogą być rzeczywiste - fizyczne, jak np. w skali 1 : 10, i abstrakcyjne. Te ostatnie warto podzielić znów na dwie klasy; jakościowe (opisowe i wyjaśniające) i ilościowe - prognostyczne. W modelach jakościowych możemy zaledwie powiedzieć wstępnie co jest jakie (model opisowy), bądź lepiej co od czego zależy (model wyjaśniający - relacyjny). Modele ilościowe (kwantytatywne) są marzeniem każdego badacza systemów i z grubsza można je podzielić na deterministyczne, rozmyte i probabilistyczne, zależnie od pewności wiedzy jaką o nich posiadamy. 

    A co to jest modelowanie? Wiąże się ono zawsze z określonym celem modelowania, jeden system może reprezentować wiele modeli. W sposób zwięzły modelowanie to wyszukiwanie w systemie cech i związków istotnych ze względu na dany cel. Nie jest to proste zadanie i często nazywa się to sztuką modelowania, jak tytuł ostatniej książki F. Morrisona, 'Sztuka Modelowania Układów Dynamicznych' [55]. 

    Jeśli popatrzymy na rysunek 3.3 objaśniający nam sposób zdobywania wiedzy o świecie to widzimy wzajemnie udokładniającą się spiralę diady 'eksperyment - teoria'. Tak było do lat 70 - tych, a od tego czasu zwolna rolę przejmuje triada 'eksperyment - teoria - symulacja', symulacja z użyciem modeli ilościowych , prognostycznych, tak jak na rysunku 6.1. 

Rysunek 6.1 Trójkąt 'eksperyment - teoria - symulacja' umożliwiający przyspieszone badania jak i projektowanie systemów złożonych [73]. 

    Ale znowu napotykamy tu barierę naszej niewiedzy, co to jest symulacja, czy to o czym już słyszeliśmy w dzieciństwie, gdy rodzice posądzali nas o symulację (udawanie) choroby by nie iść do szkoły ? Coś w tym sensie też, jest to udawanie że badając model badamy system realny. Tak więc; 

    Symulacja jest to manipulowanie modelem w taki sposób że działa on w zmienionej skali w czasie i / lub w przestrzeni, umożliwiając nam uchwycenie oddziaływań i zachowań, które w innym przypadku byłyby nieuchwytne z tytułu ich oddalenia w czasie i przestrzeni.

    Ta kompresja (ekspansja) skali daje nam także perspektywę aby uchwycić co zdarzy się w systemie, a co z tytułu jego złożoności byłoby w innym przypadku niemożliwe do obserwacji [53]. 

    Jest to dość długa definicja, lecz jedna z najlepszych oddająca istotę symulacji , podobnie jak definicja modelu i systemu, warto więc przytoczyć, że źródło jest Internetowe [53], podobnie dobre jak dla szukania zagadnień teorii systemów i cybernetyki pod Internetowym adresem [54]. 

    Wiemy już jakim narzędziem jest dobry model skojarzony z możliwościami symulacji. Jak dalece jest to słuszne może przekona nas nowa szersza nazwa symulacji, Inżynieria wirtualna, stosowana zwłaszcza do badań stosowanych i projektowania wszystkiego co ma działać, w całym cyklu życia od koncepcji do reutylizacji. Są już bowiem programy komputerowe optymalizujące proces rozbiórki i reutylizacji starych samochodów, zarówno z punktu widzenia czasu jak i energii potrzebnej do rozbiórki. Wiedząc tyle o symulacji, możliwej jeśli posiadamy dobry model, zapoznajmy się zatem z niektórymi modelami systemów.

6.2 Modele wzrostu systemów

    W wielu przypadkach badań systemu jedyną obserwablą (wielkością obserwowaną) jest stan jego wyjścia w kolejnych chwilach czasu. Wówczas na tej podstawie budujemy modele prognostyczne przyszłego zachowania się systemu dla czasu t = k+1 na podstawie zbioru danych obserwacji poprzednich t = 1, 2, ... k, prowadzi to do kilku interesujących modeli.

6.2.1 Wzrost geometryczny systemu

    Załóżmy że wielkość opisująca wyjście systemu x (stan konta, liczność populacji, itp.) jest odczytywana w dyskretnych chwilach czasu t = 1, 2,,...,k,... np. co godzinę, co miesiąc, rok, przy czym t = 1 nie musi oznaczać początku życia systemu, lecz jedynie początek obserwacji. Niech wartości kolejno odczytywane różnią się od poprzedniej o wartość stałą 'a' tak że

 x(t + 1) = a k(t ), a > 0     (6.1) 

Łatwo zauważyć z powyższego, że jeśli a = 1 to nie notujemy żadnych zmian i możemy powiedzieć, że obserwowany system jest statyczny. Jeśli a < 1 to następuje stopniowe zmniejszanie wielkości wyjściowej, zaś najbardziej interesujący jest przypadek wzrostu wyjścia systemu jeśli a > 1. Model taki może odzwierciedlać zachowanie się różnych systemów, np. wzrost populacji ludzi, zwierząt, roślin, wzrost publikacji danej dziedziny wiedzy, konsumpcji materiałów, wzrost długu lub przyrost konta w banku. W tym ostatnim np. przypadku przyszła wartość konta -F (future) w porównaniu z obecną - P (present) przy rocznym oprocentowaniu 100i % będzie 

F = (1 + i) P 

co w porównaniu do pierwotnej wartości Po po n krokach będzie 

 

    Ten typ wzrostu, tzn. przyrost o stały iloczyn, nazywamy wzrostem geometrycznym. Jak widać model ten może być bardzo użyteczny jeśli przyrost zmiennej niezależnej (np. czasu) jest dyskretny.

6.2.2 Model stada

    Uwzględnienie przyrostu cechy systemu, np. ilości zwierząt w danym obszarze, podług modelu (6.1) jest zbyt uśrednione lub inaczej grube. Czasami więc dogodnie jest przyjąć, że przyrost taki dla różnych grup wiekowych stada jest różny, a to z tytułu zróżnicowanej rozrodczości i umieralności. Załóżmy dla prostoty, że rozkład samców i samic w każdej grupie wiekowej 0, 1, 2, ..., m, (np w grupie do jednego roku, do 5 -ciu lat, itd.),jest taki sam. Pozwala nam to prowadzić rozważania tylko np dla samic, a będzie to reprezentatywne dla całego stada. Oceńmy wpierw śmiertelność grupy przy jej przejściu do drugiej, np. i do i + 1 - jako bi. Takie zmniejszenie populacji jest słuszne dla każdej grupy wiekowej k, przy jej przejściu do następnej grupy ilość osobników zmniejsza się o współczynnik przeżycia bi , tak więc 

 gdzie ßi<1 można oszacować z badań statystycznych lub wziąć z odpowiednich tabel. Jedyna grupa wiekowa, dla której nie ingeruje współczynnik przeżycia jest to najmłodsza grupa wiekowa (początkowa) w każdym etapie tzn. xo(k+1) . Dla tej grupy wiekowej oddaje swój przyrost każda inna grupa przez stosowny współczynnik rozrodczości ai. Tak więc stan tej grupy możemy opisać równaniem 

 

Mając dane współczynniki śmiertelności bi i rozrodczości ai możemy wyliczyć stan każdej grupy wiekowej stada wg. (6.3) a potem grupy nowonarodzonych xo(k+1) i wreszcie dla całego stada wg. formuły 

Pouczająca może być symulacja liczności stada 'x' przy różnych współczynnikach śmiertelności bi oraz rozrodczości ai . Będzie to z pewnością lepsze przybliżenie sytuacji rzeczywistej niż uśredniony wzrost wg modelu geometrycznego, czy też eksponencjalnego, itp.

6.2.3 Modele gospodarki

Istnieje wiele prostych modeli dynamiki wzrostu gospodarczego (np..[28], [8]), tutaj zaś rozważymy model dyskretny, np. kwartalny lub roczny. Do tego celu musimy zdefiniować cztery zmienne opisujące jak niżej. 

Równanie równowagi takich kosztów w czasie k jest 

Y(k) = C(k) + I(k) + G(k)         (6.5) 

Znaczy to że całkowity przychód musi być podzielony na konsumpcję - C, inwestycje -I i wydatki rządowe -G. Jest oczywiste, że konsumpcja musi być ograniczona i stanowić część przychodu 

C(k) = m Y(k), 1 > m > 0         (6.6) 

Ponadto inwestujemy by zwiększyć dochód narodowy, jeśli więc oznaczymy współczynnik wzrostu dochodu R > 0 to możemy napisać 

 

Z powyższych dwu statycznych (równowagowych) równań możemy znaleźć, 

Y(k) = C(k) + I(k) + G(k), 

czyli 

Y(k) = m Y(k) + I(k) + G(k).         (6.8) 

Przyjmijmy, że wydatki państwa są ograniczone i oczywiście proporcjonalne do przychodów, np. G(k) = b Y(k), 0 < b < 1. Zatem po przekształceniach ostatecznie dostaniemy 

Y(k+1) = [ 1+ R( 1- m -b)] Y(k)         (6.9) 

Porównując powyższe z relacją (6.1) można zauważyć, że współczynnik geometrycznego wzrostu wynosi tu: a = 1+R(1-m - b) < > 0. Przy dużych wydatkach rządowych ten wzrost może być bardzo mały jeśli G(k) zbliża się do Y(k). W konsekwencji warto tu zasymulować jak współczynnik wzrostu 'R' i konsumpcji 'm' zmieniają sytuację ekonomiczną państwa czy też korporacji.

6.2.4 Wzrost eksponencjalny systemu 

Jeśli do równania przyrostu geometrycznego (6.1) dodamy i odejmiemy x(k) to uzyskamy 

x(k+1) = a x(k) + x(k) - x(k), 

a stąd 

x(k+1) - x(k) = (a-1) x(k), 

czyli 

podobnie jak dla modelu gospodarki narodowej. 

Przyrosty czasu są u nas jednostkowe , zatem ostatnie równanie różnicowe możemy zastąpić dokładnym różniczkowym gdy , otrzymując 

        (6.10) 

Znaczy to że zmiany wyjścia w naszym systemie (produkt, ilość osobników, dochód) następują tak często, że możemy zastosować przejście graniczne Dt Ž 0. Rozwiązanie powyższego równania różniczkowego jest prawie natychmiastowe gdyż 

gdzie x(0) jest wartością początkową wyjścia systemu. 

Widać z powyższego że zachowanie systemu zależy istotnie od wykładnika wzrostu R; 

Rysunek 6.2 Zachowanie się systemu dynamicznego dla różnych wykładników wzrostu 

Analizując ponownie uzyskany rezultat (6.11) dla dyskretnych wartości t = 0. 1, 2, ..., k, zauważmy że 

Znaczy to że wzrost geometryczny (6.1) jest dyskretnym wariantem wzrostu wykładniczego gdyż mamy tu:

Jeśli zastosujemy tę samą filozofię przejścia z różnicą skończoną do granicy i dalej do równania różniczkowego, to dla modelu gospodarki otrzymamy 

a więc również model wzrostu eksponencjalnego przy zbilansowanej konsumpcji i wydatkach rządowych.

6.3 Modele zachowania systemów z ograniczeniami strukturalnymi

    Dotychczas rozważane modele systemów nie wypływały z jawnie postawionej struktury modelu a jedynie były wynikiem matematycznego powiązania wielkości obserwowanych na wyjściu systemu. Na ogół również rola wejścia nie była jasno wyartykułowana, w sensie przyczynowo skutkowym. Są jednak modele, gdzie jest znane takie przyporządkowanie a wejścia i wyjścia systemu są jasno zdefiniowane. Są zatem zdefiniowane początki struktury systemu, tzn. jego wewnętrzne relacje jak i powiązanie z otoczeniem. Zajmijmy się zatem analizą zachowania takich systemów.

6.3.1 Układy transformujące energię

    Rozważane do tej pory systemy nie miały sprecyzowanych ograniczeń strukturalnych rządzących dynamiką ich zmian. Takie ograniczenia da się wykoncypować często z powodów fizykalnych, psycho -fizycznych, ekonomicznych, socjologicznych, itp. Weźmy pod uwagę zatem system trasformujący energię (moc ) wejściową Ni na energię wyższego rzędu Nu - co może być produktem działania systemu [34], [37], lub dosłownie inną przekształconą formą energii, jak w przekładni mechanicznej, lub termo elektrowni. Przy takiej transformacji zawsze następuje dyssypacja (strata) energii i jej część jest eksportowana na zewnątrz systemu w postaci mocy V, a część jest dyssypowana i akumulowana wewnętrznie uszkadzając (zatruwając) sam system tak jak na rysunku 6.3. 

Rysunek 6.3: Najprostszy model systemu transformującego energię z ograniczoną dyssypacją wewnętrzną [35]. 

Patrząc na rozpływ mocy systemu na rysunku 6.3 możemy napisać 

 

Możliwości akumulacji wewnętrznej energii zdyssypowanej, czyli uszkodzeń, są zawsze skończone, zatem nie może być ona większa niż pojemność dyssypacji systemu (objętość zbiornika na rysunku 6.3 ) 

Edb, czyli 

Tutaj i dalej własny czas życia systemu oznaczono jako Q. W systemie wbudowane jest dodatkowe dyssypacyjen sprzężenie zwrotne - dodatnie, tzn. takie że im więcej zdyssypowanej energii odłożono w systemie tym większa jest chwilowa dyssypacja systemu (patrz rys. 6.3). Można to ująć np. w postaci relacji różniczkowej

Jest to druga relacja strukturalna systemu, zaś trzecia może dotyczyć związku między całkowitą mocą dyssypowaną a eksportowaną i w najprostszym przypadku może mieć postać 

Obliczając przyrost energii dyssypacji zakumulowanej wewnętrznie mamy 

Drugi wyraz w powyższym możemy znaleźć z (6.13) otrzymując 

zaś pierwsze będzie

Zauważmy że zależność strukturalna (6.15) pozwoli nam to uprościć do 

gdzie przyjęto const1 = 0 . Tak więc całkowity przyrost energii dyssypowanej wewnętrznie będzie 

Wstawiając to do relacji sprzężenia zwrotnego dV = ßdEda uzyskamy równanie różniczkowe postaci 

z rozwiązaniem 

przedstawionym na rysunku 6.4. 

Rys 6.4: Krzywa życia systemu z ograniczoną wewnętrznie dyssypacją z widoczną awarią lub śmiercią systemu dla

Jak widać z rozwiązania (6.16) i rysunku 6.4, dla czasu awarii systemu, cała jego moc dostarczona jest dyssypowana, gdyż . Jest to często obserwowane zjawisko w świecie systemów naturalnych i sztucznych, a podpatrzone zostało dla przypadku zużywania się maszyn [34], [37]. Zaś dla powstałego na tej podstawie modelu można znaleźć bardzo dużo interpretacji kosmologicznych i socjotechnicznych, tak jak to wynika z rysunku 6.5,[43]. 

Rys. 6.5 Systemy kosmo i socjotechniczne o podobnych własnościach wejścia / wyjścia jak model procesora energii z ograniczoną wewnętrzną dyssypacją energii. 

Ten sposób rozumowania, tzn. wprowadzenie ograniczeń strukturalnych do modelu, jest na tyle płodny, że można wprowadzić podobne ograniczenia do strumienia energii przetworzonej Nu. Dzięki temu uzyskano nie tylko dodatkowy efekt fizycznej śmierci systemu jak poprzednio, lecz także dodatkową stopniową redukcję efektywności działania systemu. Mechanizm tego zmniejszania efektywności może być zależny od ilości energii dyssypowanej, jak i ilości energii przetworzonej, jak to się dzieje w układach recyclingu energii. 

Dodatnie sprzężenie zwrotne można również wprowadzić w energię transformowaną wyższego rzędu Nu. Tą drogą można modelować mechanizm nadprodukcji maszyn w branży przemysłu maszynowego, pracę systemu komputerowego o skończonej pamięci, itp., uzyskując kolejny modele układu przetwarzającego energię (procesora energii) ekwiwalentną. Więcej na ten temat można znaleźć w materiałach Międzynarodowego Sympozjum Inżynierii Systemów [21] i najnowszych pracach zespołu autora. 

Na zakończenie rozważań procesorów energii załóżmy, że nasza definicja energii sięga daleko poza fizykę i jest ważna we wszelkich dziedzinach istnienia i aktywności we wszechświecie. Załóżmy zatem, że energia to uporządkowana aktywność [44], zatem dla poruszającego się kamienia, jego masa i prędkość są równoważne energii, podobnie praca człowieka, jego myśli, praca grupy ludzkiej, pieniądze, itp. Przy tak szerokiej definicji energii gospodarka narodowa rozważana wcześniej jest też procesorem energii (PE), jednak nieadekwatnym do rzeczywistości gdyż w naszym poprzednim modelu otrzymaliśmy nieograniczony wzrost eksponencjalny. Rozważmy ponownie dynamikę i ewolucję małej jednostki produkcyjnej, np. takiej jak farma, warsztat, gdzie wejściowy strumień energii Y(Q) będzie się dzielił następująco (patrz rysunek). 

Rysunek 6.6: Model układu transformującego energię równoważną z możliwością wzrostu systemu. 

Bilans tak zarysowanego układu wejścia / wyjść i jego fizyczna realizowalność wymaga by 

Przyrost strumienia energii wejściowej jest podobny jak w poprzednim modelu gospodarki narodowej w sekcji 6.1, tzn. 

Jeśli teraz dopuścimy, że część energii przeznaczona pierwotnie na konsumpcje może być reinwestowana, tzn. 

, np. przez wprowadzenie podatku od wartości dodanej VAT, to stałość strukturalna systemu wymaga by 

Wyliczając przyrost różniczkowy zasobów inwestycyjnych zgodnie z rysunkiem (6.5) mamy 

Uwzględniając dodatnie sprzężenie zwrotne w inwestycji znajdziemy 

Następnym krokiem przekształceń powyższego jest równanie różniczkowe przyrostu strumienia energii wejściowej definiujące również własny czas do awarii

z rozwiązaniem 

(6.20)

Jak widać z analizy równania i rozwiązania, procesor energii ekwiwalentnej (farma, warsztat, itp) ze wzrostem systemu będzie miał skończony czas życia, zawsze jeśli Znaczy to że wprowadzenie reinwestycji -VAT - zawsze daje przyspieszenie wzrostu aż do nieskończoności, ale też skończony czas życia procesora energii. Natomiast gdy h = 0 rozwiązanie jest eksponencjalne, też nieskończone, tak jak poprzednio w sekcji 6.2, lecz system jest nierealistyczny gdyż żyje nieskończenie długo.

6.3.2 Systemy z nasyceniem

Po początkowym okresie wzrostu wiele cech systemów wchodzi w okres stopniowego nasycenia mając asymptotę w osi równoległej do czasu, przeciwnie niż systemy przetwarzające energię. Tak się dzieje np. z popytem na większość towarów i usług, a także z liczbą populacji danego gatunku w obliczu ograniczoności zasobów (np na wyspie). Warto więc zbadać to zagadnienie nieco głębiej. Równanie różniczkowe, które może opisywać taki samo hamowany popyt ma postać 

Widać tu, że popyt jest proporcjonalny do początkowego 'q/L' ale jednocześnie do pozostałego (resztkowego) popytu '(1-q)/L'. 

Jego rozwiązanie możliwe do uzyskanie przez rozdzielenie zmiennych ma postać krzywej logistycznej 

gdzie

Krzywą logistyczną można również przekształcić przez logarytmowanie i zamianę zmiennych do postaci liniowego wzrostu jak niżej,

lub liniowej regresji - co może być istotne w prognozowaniu. Graficzne zobrazowanie postaci krzywej logistycznej przedstawia rysunek 6.7 , gdzie również zaznaczono jej wartości charakterystyczne; amplitudowe nasycenie i czasowe załamanie popytu

Rysunek 6.7: Logistyczna krzywa popytu jako rozwiązanie modelu systemu z hamowaniem [4]. 

Jak widać z rysunku poziom asymptotycznego nasycenia produktem (usługą) wynosi L, a czas przełomu wzrostu popytu 

Zatem znając popyt początkowy qo i szacując maksymalny L oraz prędkość wzrostu popytu 'g', można wyznaczyć niezbędne parametry do optymalizacji strategii produkcji, sprzedaży, usług, podobnie jak wydolność środowiska do utrzymania gatunku ludzkiego. 

6.4 Systemy konfliktowe

Wielokrotnie systemy (osobniki, organizacje) współdziałają z otoczeniem będącym podobnym lub nieco większym systemem. Stąd oba systemy można ująć w jeden większy metasystem w którym działają dwa konfliktowe systemy. Zbadamy obecnie kilka takich przypadków.

6.4.1 Wyścig zbrojeń

Rozważmy dwa państwa (systemy), X i Y, których potencjał niszczący równoważny budżetowi zbrojeniowemu wynosi odpowiednio x i y. Załóżmy że szybkość zmiany nakładów na zbrojenia jest regulowana jako różnica własnych nakładów i postrzeganych (szpiegostwo) nakładów przeciwnika, tak więc możemy napisać . 

    (6.23) 

Podstawowym problemem jest tutaj stabilność zbrojeń czyli utrzymywanie ich na stałym poziomie tolerowalnym dla ogólnego rozwoju obu systemów. Z badań tego problemu [8] okazuje się, że poziomy nakładów na zbrojenia mogą być stabilne jeśli 

a więc stopień własnych nakładów do postrzeganych cudzych (m/a, n/b) musi być nieco większy od jedności. To zapewnia, że po obustronnym zredukowaniu poziomu nakładów wyścig zbrojeń nie wybuchnie od nowa. Czytelnikowi pozostawia się znalezienie innych analogii wyścigu zbrojeń np. w dziedzinie nakładów na badania, reklamy, promocję, itp.

6.4.2 Model drapieżnika i ofiary

Łatwo sobie wyobrazić, że przy nieobecności drapieżnika x (np. wilk) populacja kóz będzie rosła do nieskończoności, lub też przy ograniczoności zasobów zgodnie z krzywą logistyczną (patrz poprzednia sekcja). Modelując to zagadnienie konfliktowe (również dwie konkurencyjne firmy) zauważmy, że każde spotkanie drapieżnika i ofiary (koza) powiększa biomasę drapieżników a pomniejsza biomasę stada kóz. Częstość tych spotkań wpływa również dodatnio na biomasę drapieżników a ujemnie na biomasę ofiary. Tak więc można to zamodelować jak niżej 

Zauważmy, że drugie równanie łatwo przechodzi w r. logistyczne jeśli x y, tzn. zamiast drapieżnika wprowadzamy ofiarę jako zjadacza ograniczonych zasobów. Dzieląc stronami przez siebie oba równania mamy 

co doprowadza do pożądanego rozdziału zmiennych 

i rozwiązania 

Rozwiązanie to przedstawia zamknięte krzywe (trajektorie) (patrz rysunek 6.8) wokół punktu równowagi: 

jeśli tylko spełniony jest warunek stabilności: ap - rc > 0. 

W tym przypadku rozwiązania oscylują (na płaszczyźnie x y ) na stabilnych trajektoriach wokół punktu równowagi. Dla tego przypadku rozwiązań oscylacyjnych (drgań) w biologii można znaleźć wiele analogii w zagadnieniach oscylacji w mechanice, elektronice, itp.

Rysunek 6.8: Stabilne rozwiązania problemu drapieżca - ofiara wokół punktu równowagi 

Zagadnienie współistnienia dwu konfliktowych populacji można dalej wzbogacić przez hamowanie rozwoju drapieżcy wprowadzając ujemny człon kwadratowy, jak w krzywej logistycznej. Znane są również uogólnienia na N populacji konfliktowych [28]. Nieco bardziej skomplikowany jest model symbiozy organizmu z pasożytem, lecz zostawimy go tu na uboczu polecając [8]. 

6.4.3 Model urbanizacji

Jako ostatni rozważmy model urbanizacji w kraju. Niech Pr reprezentuje populację ludzi na wsi, zaś Pu populację ludzi miasta. Niech dalej 'r i u' oznaczają odpowiednie stopy przyrostu ludności ( na osobę i na jednostkę czasu np rok) zaś 'm' współczynnik migracji ludzi do miasta. Przy tych założenia możemy zestawić następujący model ewolucji obu populacji.

Na ogół jesteśmy zainteresowani bezpośrednio nie ludnością wsi i miasta lecz ich proporcją. Niech zatem odzwierciedla to nowa zmienna

co na mocy ostatniego równania różniczkowego daje

z rozwiązaniem

Jak widać z powyższego iloraz ludności miasta do wsi nie musi rosnąć w nieskończoność i może uzyskać wartość stałą 

jeśli tylko u + m < r , tzn. jeśli stopień wzrostu populacji wsi rośnie szybciej niż miejski.

Model urbanizacji można jeszcze wzbogacić wprowadzając migrację zwrotną z miasta na wieś: - m Pu do równania drugiego, co prowadzi do krzywej logistycznej ilorazu ludności [8], a więc znowu do sytuacji ustalonej, stabilnej. Czytelnik z pewnością znajdzie inne analogie do modelu urbanizacji, np przepływy międzygałęziowe w ekonomii, itp.

6.5 Modele Systemów złożonych

Jak już wspominaliśmy w latach 70 - tych zaszła istotna możliwość użycia komputerów do badań zachowania się systemów złożonych. Wpierw było to możliwe w dużych ośrodkach badawczych typu MIT w USA, a potem w przemyśle. Pojawiły się pierwsze modele problemów świata, tak jak je wtedy postrzegano, demografia wyżywienie ludzkości, zanieczyszczenie środowiska. Pionierem w tych badaniach był Jay FORRESTER z MIT, autor słynnej książki World Dynamics [56], również członek Klubu Rzymskiego. W chwili obecnej modele te są znacznie bardziej rozbudowane i wieloprzekrojowe, o czym za chwilę. Popatrzmy jednak na wstępie na model ujmujący populację świata -x, konsumpcję - z, i zanieczyszczenie środowiska - y. Trzy najprostsze równania różniczkowe ujmujące ten model, w ślad za skryptem [57], przedstawiono niżej

 

jeśli y > 1, oraz poza przedziałem, (6.28), 

ze współczynnikami wzrostu: 

Rysunek 6.9 pokazuje tu efekty symulacji wykonane za pomocą programu MATLAB®, ze współczynnikami pokazanymi na rysunku. 

Jak widać, pogorszenie opieki zdrowotnej -d, daje od razu spadek populacji -x, podobnie jak pogorszenie ochrony środowiska -a. 

Rys. 6.9 Populacja, zanieczyszczenie środowiska i konsumpcja świata ujęte w jednym modelu, i wstępne efekty symulacji. 

Popularyzacja komputerów osobistych i użytkowanie ich do symulacji naukowych i gospodarczych sprawiły, że pojawiło się wiele firm oferujących gotowe programy symulacyjne wielu złożonych problemów projektowania, eksploatacji, a na koniec i programy edukacyjne. Wystarczy tu wymienić niektóre: Stella, Ithink, Vensim, Microworlds [58], możliwe do uchwycenia w Internecie z darmowymi (free of charge) programami typu 'demo', które potrafią uczyć, jak i rozwiązać podstawowe problemy, ze słynną 'grą piwną' na czele. Gra piwna to problem logistyki w układzie: sprzedawca - hurtownik - browar, gdzie jasno widać iż opóźnienia w dostawach i brak informacji prowadzi nieuchronnie do znacznych zakłóceń w całym systemie niezależnie od dobrej woli uczestników, rozwiązaniem jest tu jedynie podejście systemowe; myśl globalnie - działaj lokalnie. 

Dla wyobrażenia sobie jak skomplikowane są współczesne modele symulacyjne proszę przeanalizować jeden z przekrojów modelu demograficznego świata, tak jak na rysunku 6.10, pamiętając jednocześnie, że niektóre gałęzie tego modelu jak żywność (food), zanieczyszczenie (pollution), są same podobnie skomplikowanymi modelami. Zachęcam do pobawienia się tymi modelami, nawet dla rozrywki.

Rys. 6.10 Jeden z przekrojów symulacyjnego modelu demograficznego świata w ujęciu firmy Ventana Systems Inc [58]. 

Mówiąc o modelach systemów wymieniliśmy dwa typy modeli jakościowych, opisowe i relacyjne, które w tym ostatnim przypadku zdają sprawę z faktu 'co od czego zależy', co nie jest takie proste ani oczywiste w systemach złożonych. Jako przykład proszę przeanalizować ujęcie systemu kształcenia na Wydziale (Rys. 6.11), w którym jesteśmy zanurzeni i proszę powiedzieć czy on jest prosty i czy jest pełny. Rysunek ten to zaledwie jeden z przekrojów systemu kształcenia, a sam system i jego funkcjonowanie będzie lepiej zrozumiałe jeśli przeanalizujemy kolejny (rys. 6.12) przedstawiający przyczynowo skutkowe powody i efekty działalności kadry Wydziału. Z rysunków tych widać dopiero skalę problemów jakie wynikają w zarządzaniu współczesnymi organizacjami, gdzie w grę wchodzą nastawienia i motywacje różnych pracowników różnego szczebla, kompetencji ulokowanych w różnych pośrednich hierarchiach władzy i zależności.

Rys. 6.11 Uproszczony schemat funkcjonalny systemu kształcenia Wydziału Uczelni Wyższej. 

Rys. 6.12 Struktura sprzężeń współzależności finansowo motywacyjnych Wydziału.

6.6 Prognozowanie ewolucji systemów

Prognozowanie zachowania systemów, czyli znajdywanie przyszłych wartości wejść/ wyjść jest proste jeśli znamy model systemu to znaczy mamy w pełni określone równanie rządzące systemem i jego współczynniki liczbowe, co nie jest takie proste. Bowiem można mieć znajomość typu modelu, bez znajomości jego współczynników, które wymagają identyfikacji eksperymentalnej, bądź badań statystycznych na wiarygodnej populacji obiektów, czy też populacji społecznej. 

6.6.1 Prognozowanie przy znanym typie modelu

Mamy zatem sytuację iż wiemy jaki typ zależności oddaje najlepiej zachowanie naszego systemu, że np. jest to wzrost exponencjalny, lub logarytmiczny, jak niżej

np.;

i my nie znamy ani skali A ani też wykładnika

Dla dyskretnych odczytów czasu = 1, 2 3, .. z krokiem   możemy napisać prognozę wyjścia dla czasu jak niżej, 

jeśli znamy f(*) oraz e, co na ogół nie ma miejsca. Jeśli jednak oprócz tego monitorujemy wyjście systemu, to nasze obserwacje będą zawsze nieco różne o wielkość związaną z dokładnością naszego modelu, zakłóceniami pomiarowymi, itp. Tak więc zamiast otrzymamy , co możemy zapisać równaniem

z jako zakłóceniem pomiaru n, lub różnicą między prognozą modelu i obserwacją

Minimalizując obecnie sumę takich różnic od początku obserwacji, np. metodą najmniejszych kwadratów, możemy dokonać oszacowania naszych pozostałych parametrów struktury systemu, na podstawie obserwacji systemu rzeczywistego. 

Tą drogą, nawet bez znajomości modelu, możemy zapostulować typy zachowania się wyjścia, np. funkcja liniowa kwadratowa, logarytmiczna, itp. i wyliczając współczynniki strukturalne wybrać typ modelu dający najmniejszy błąd, (bliżej patrz np. [59]). 

Rys 6.14 Cząstkowe elementy ewolucji atrybutów złożonego systemu dla ilościowego prognozowania i przykładowa synteza jego globalnej krzywej życia [47]. 

Powracając obecnie do prognozowania ilościowego zachowania się systemów, weźmy pod uwagę systemy złożone, dla których modele rozpatrywane w tym rozdziale mogą być słuszne jedynie cząstkowo - w małym fragmencie ich czasu życia. Sytuację tę ilustruje rysunek 6.14, [47], pokazujący różne możliwe fragmenty krzywej życia systemu i możliwą ich syntezę jak na rysunku e. Łatwo tu zauważyć, że każdy z fragmentów pokazanych na rysunku rozważany był jako model ilościowy w tym rozdziale, a ich kombinacja może być na pierwszy rzut oka trudna do identyfikacji. 

Z tych też powodów, a także zbyt małej ilości danych dla krzywych cząstkowych, rozwinęły się bardzo metody prognozowania ilościowego zachowania się systemów przy założeniu nieznajomości ich modelu. Takie metody bazują tylko na zaobserwowanym przeszłym zachowaniu systemu, czyli na szeregach czasowych atrybutów systemu zaobserwowanych w równych odstępach czasu (rocznie, kwartalnie, itp). Nie mając tu miejsca na rozważenie wszystkich istotnych metod prognozowania szeregów czasowych weźmy pod uwagę jedynie regresję liniową, do której można sprowadzić wzrost liniowy oraz eksponencjalny i logistyczny jeśli poddamy krzywą obustronnemu logarytmowaniu ( patrz na inną formę krzywej logistycznej (6.22)). Oczekiwany liniowy wzrost atrybutu systemu można zatem w wielu przypadkach ująć prostym równaniem

 y = A + B x         (6.28) 

gdzie 'y' estymowana krzywa życia systemu, A - wartość początkowa, B - nachylenie prostej. Jeśli dysponujemy n odczytami yi = y(x = xi), to estymatory współczynników a i b możemy znaleźć z wzorów [49]. 

     (6.29) 

Jak już wcześniej wspomnieliśmy tą drogą możemy poszukiwać zależności funkcyjnej dla szeregu czasowego o trendzie liniowym lub eksponencjalnym. Więcej na ten interesujący temat można znaleźć w specjalistycznych książkach z ekonometrii oraz z analizy szeregów czasowych, a także w specjalistycznych programach komputerowych np, STATGRAPHICS®, itp. Tutaj zaś na zakończenie przytoczymy charakterystykę różnych metod prognozowania zaczerpniętą z monografii Schroedera [47], tak jak na rysunku . 

v Rys 6.15: Porównanie efektywności prognozowania różnych metod szeregów czasowych, [47].

6.6.2 Prognozowanie bez znajomości modelu

Nie we wszystkich przypadkach projektowania systemów ich model jest oczywisty jak wyżej, tzn. zdolny również do prognozowania. A jeśli nawet tak jest, to może być on słuszny jedynie w małym fragmencie interesującego nas czasu ewolucji. Stąd też warto spojrzeć jak systemy działaniowe, a zwłaszcza ich systemy nadrzędne mogą ulegać zmianom. Zanim jednak do tego dojdziemy zastanówmy się wpierw jakie mogą być generalnie cele, rodzaje i zakresy prognozowania i jakie może (musi ) być generalnie myślenie o przyszłości. Wyjaśnia to dobrze rysunek rozpoczynając od długoterminowego prognozowania strategicznego, na ogół jakościowego niezbędnego na szczeblu decyzji w korporacji, a kończąc na ilościowym prognozowaniu operacyjnym dotyczącym konkretnych zamówień, w konkretnym oddziale produkcyjnym. Jak widać z rysunku myślenie o przyszłości zaczyna się wpierw od wyekstrahowania istotnych czynników ekonomicznych, społecznych i politycznych, które będą kształtować przyszłość i przechodzi dalej w uszczegółowienie obszaru i problemu prognozy. 

Rysunek 6.16: Myślenie o przyszłości jako początek prognozowania różnego szczebla [21]. 

Wyżej zilustrowaliśmy problem rozwoju systemów w czasie ich cyklu życia i współdziałania ze środowiskiem lub metasystemem. Pozwoli nam to właściwie dobrać model ewolucji podsystemu odpowiednio do analizowanej sytuacji projektowej, w poszukiwaniu ewolucji nowego systemu w jego całym cyklu życia.